Power-seeria Ja Taylori-seeria Erinevus

2024 Autor: Mildred Bawerman | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2024-01-09 22:10

Power-seeria vs Taylori-seeria

Matemaatikas on reaaljärjestus reaalarvude järjestatud loetelu. Vormiliselt on see funktsioon loomulike arvude reast reaalarvude hulgani. Kui _n on järjestuse n- ^nda termin, tähistame järjestust tähisega ₁, ₂,…, a _n, …. Näiteks kaaluge järjestust 1, ½, ⅓,…, ¹ / _n, … Seda saab tähistada kui {1 / n}.

Jadade abil on võimalik seeriat määratleda. Rida on jada tingimuste summa. Seetõttu on iga järjestuse jaoks seotud järjestus ja vastupidi. Kui vaadeldav järjestus on {a _n}, siis saab selle järjestuse moodustatud seeria esitada järgmiselt:

Seega ülaltoodud näites, assotsieerunud seeria on 1+ ¹ / ₂ + ¹ / ₃ + … + ¹ / _n + ….

Nagu nimedest järeldada võib, on võimsusjada eriline seeriatüüp ning seda kasutatakse laialdaselt numbrilises analüüsis ja sellega seotud matemaatilises modelleerimises. Taylori seeria on spetsiaalne jõusari, mis pakub alternatiivset ja hõlpsasti manipuleeritavat viisi tuntud funktsioonide esitamiseks.

Mis on Power-seeria?

Võimsuse seeria on vormi jada

mis on ühtlustatav (võimalik) mingi intervalliga, mille keskpunkt on c Koefitsiendid a _n võivad olla reaal- või kompleksarvud ja sõltuvad x-st; st näiv muutuja.

Näiteks, määrates iga n jaoks _n = 1 ja c = 0, saadakse võimsuse seeria 1 + x + x ² +….. + x ⁿ +…. On lihtne jälgida, et kui x ε (-1,1), siis see võimsuse seeria läheneb väärtusele 1 / (1-x).

Võimsuse seeria läheneb, kui x = c. Teised x väärtused, mille jaoks võimsuse seeria läheneb, on alati avatud intervalli kujul, mille keskpunkt on c. See tähendab, et on väärtus 0≤ R ≤ ∞ nii, et iga x korral, mis vastab | xc | ≤ R-le, on võimsuse rida lähenev ja iga x-i korral, mis vastab | xc |> R-le, on võimsuse seeria erinev. Seda väärtust R nimetatakse võimsuse rea lähenemisraadiuseks (R võib võtta mis tahes reaalse väärtuse või positiivse lõpmatuse).

Võimsuseeriaid saab lisada, lahutada, korrutada ja jagada järgmiste reeglite abil. Vaatleme kahte võimsuse seeriat:

Siis,

st sarnased terminid liidetakse või lahutatakse koos. Samuti on identiteedi abil võimalik korrutada ja jagada kahte võimsuseeriat,

Mis on Taylori seeria?

Taylori seeria on määratletud funktsiooni f (x) jaoks, mis on intervalliga lõpmatult diferentseeruv. Oletame, et f (x) on diferentseeritav vahemikus, mille keskpunkt on c. Siis võimsuse seeria, mille annab

nimetatakse funktsiooni f (x) Taylori seeria laienduseks umbes c. (Siin tähistab f ⁽ⁿ⁾ (c) n- ^dat tuletist punktis x = c). Numbrianalüüsis kasutatakse selle lõpmatu laiendusega piiratud arvu termineid väärtuste arvutamiseks punktides, kus jada on algse funktsiooniga lähenev.

Funktsiooni f (x) kohta öeldakse, et see on intervallis (a, b) analüütiline, kui iga x ε (a, b) jaoks läheneb Taylori f (x) seeria funktsioonile f (x). Näiteks 1 / (1-x) on (-1,1) kohta analüütiline, kuna selle Taylori paisumine 1 + x + x ² +….. + x ⁿ + … koondub selle intervalli funktsiooniga ja e ^x on kõikjal analüütiline, kuna Taylori e ^x- seeria koondub iga reaalarvu ^x korral ex-ks.

Mis vahe on Power-sarja ja Taylori seerial?

1. Taylori seeria on spetsiaalne võimsusjaamade klass, mis on määratletud ainult funktsioonide jaoks, mida on mõnel avatud intervallil lõpmatult diferentseerida.

2. Taylori sarjad võtavad erikuju