Tuletis vs diferentsiaal
Diferentsiaalarvutuses on funktsiooni tuletis ja diferentsiaal omavahel tihedalt seotud, kuid neil on väga erinev tähendus ja neid kasutatakse kahe olulise matemaatilise objekti esitamiseks, mis on seotud diferentseeritavate funktsioonidega.
Mis on tuletis?
Funktsiooni tuletis mõõdab funktsiooni väärtuse muutumise kiirust selle sisendi muutumisel. Mitmemuutujate funktsioonide korral sõltub funktsiooni väärtuse muutus sõltumatute muutujate väärtuste muutumise suunast. Seetõttu valitakse sellistel juhtudel konkreetne suund ja eristatakse funktsiooni selles konkreetses suunas. Seda tuletist nimetatakse suuna tuletiseks. Osalised tuletised on eriliik suuna tuletised.
Vektorväärtusega funktsiooni f tuletise saab määratleda piirina,
kus see ka lõplikult eksisteerib. Nagu eelnevalt mainitud, annab see meile funktsiooni f kasvukiiruse vektori u suunas. Üheväärtusliku funktsiooni korral taandub see tuletise üldtuntud määratlusele,
Näiteks
on kõikjal eristatav ja tuletis võrdub piiriga
mis on võrdne
. Selliste funktsioonide tuletised nagu
kõikjal olemas. Need on vastavalt funktsioonidega võrdsed
Seda tuntakse esimese tuletisena. Tavaliselt tähistatakse funktsiooni f esimest tuletist f (1). Nüüd seda tähistust kasutades on võimalik määratleda kõrgema järgu tuletised.
teist järku suunamata derivaati ning tähistades n th derivaadi f (n) iga n,
määratletakse n th derivaat.
Mis on erinevus?
Funktsiooni diferentsiaal tähistab funktsiooni muutust sõltumatu muutuja või muutujate muutuste suhtes. Tavalisel märke teatava funktsiooni f ühe muutuja x, kokku erinevus tellimuse 1 df saadakse,
. See tähendab, et x-i (st dx) lõpmatu väikese muutuse korral on f-is muutus af (1) (x) dx.
Piiride kasutamine võib selle definitsiooni jõuda järgmiselt. Oletame, et is x on muutus x suvalises punktis x ja ∆ f on funktsioon f vastav muutus. Võib näidata, et ∆ f = f (1) (x) ∆ x + ϵ, kus ϵ on viga. Nüüd on piir ∆ x → 0 ∆ f / ∆ x = f (1) (x) (kasutades eelnevalt määratletud tuletise definitsiooni) ja seega ∆ x → 0 ϵ / ∆ x = 0. Seetõttu on võimalik järeldada, et ∆ x → 0 ϵ = 0. Nüüd, tähistades ∆ x → 0 ∆ f kui df ja ∆ x → 0 ∆ x kui dx, saadakse diferentsiaali määratlus rangelt.
Näiteks funktsiooni erinevus
on
Kahe või enama muutuja funktsioonide korral määratletakse funktsiooni kogu erinevus diferentsiaalide summana iga sõltumatu muutuja suunas. Matemaatiliselt võib öelda, et
Mis vahe on tuletisel ja diferentsiaalil?
• Tuletis viitab funktsiooni muutumiskiirusele, diferentsiaal aga funktsiooni tegelikule muutusele, kui sõltumatu muutuja muutub.
• Tuletise annab
kuid diferentsiaali annab
