Diferentseerimine vs tuletis
Diferentsiaalarvutuses on tuletis ja diferentseerimine omavahel tihedalt seotud, kuid väga erinevad ja neid kasutatakse funktsioonidega seotud kahe olulise matemaatilise mõiste tähistamiseks.
Mis on tuletis?
Funktsiooni tuletis mõõdab funktsiooni väärtuse muutumise kiirust selle sisendi muutumisel. Mitmemuutujate funktsioonide korral sõltub funktsiooni väärtuse muutus sõltumatute muutujate väärtuste muutumise suunast. Seetõttu valitakse sellistel juhtudel konkreetne suund ja eristatakse funktsiooni selles konkreetses suunas. Seda tuletist nimetatakse suuna tuletiseks. Osalised tuletised on eriliik suuna tuletised.
Vektorväärtusega funktsiooni f tuletise saab määratleda piirina,
kus see ka lõplikult eksisteerib. Nagu eelnevalt mainitud, annab see meile funktsiooni f kasvukiiruse vektori u suunas. Üheväärtusliku funktsiooni korral taandub see tuletise üldtuntud määratlusele,
Näiteks
on kõikjal eristatav ja tuletis võrdub piiriga
mis on võrdne
. Selliste funktsioonide tuletised nagu
kõikjal olemas. Need on vastavalt funktsioonidega võrdsed
Seda tuntakse esimese tuletisena. Tavaliselt tähistatakse funktsiooni f esimest tuletist f (1). Nüüd seda tähistust kasutades on võimalik määratleda kõrgema järgu tuletised.
teist järku suunamata derivaati ning tähistades n th derivaadi f (n) iga n,
määratletakse n th derivaat.
Mis on diferentseerimine?
Diferentseerimine on diferentseeritava funktsiooni tuletise leidmise protsess. D-tähisega D-operaator tähistab mõnes kontekstis diferentseerumist. Kui x on sõltumatu muutuja, siis D ≡ d / dx. D-operaator on lineaarne operaator, st mis tahes kahe diferentseeritava funktsiooni f ja g ning konstandi c korral kehtivad järgmised omadused.
I. D (f + g) = D (f) + D (g)
II. D (cf) = cD (f)
D-operaatori abil saab teisi diferentseerimisega seotud reegleid väljendada järgmiselt. D (fg) = D (f) g + f D (g), D (f / g) = [D (f) g - f D (g)] / g 2 ja D (udu) = (D (f) og) D (g).
Näiteks kui F (x) = x 2 sin x on antud reeglite järgi diferentseeritud x suhtes, saab vastuseks 2 x sin x + x 2 cos x.
Mis vahe on diferentseerimisel ja tuletisel?
• Tuletis viitab funktsiooni muutumise kiirusele
• Diferentseerimine on funktsiooni tuletise leidmise protsess.
