Kindlad vs määramata integraalid
Arvestus on matemaatika oluline haru ja diferentseerimisel on arvutamisel kriitiline roll. Diferentseerimise pöördprotsess on tuntud kui integreerimine ja pöördfunktsioon on integraal või lihtsalt öeldes, diferentseerimise pöördvõimalus annab integraali. Nende tulemuste põhjal jagunevad integraalid kahte klassi; kindlad ja määramata integraalid.
Lisateave määramatute integraalide kohta
Määramata integraal on pigem üldine integratsiooni vorm ja seda saab tõlgendada vaadeldava funktsiooni tuletistevastaseks. Oletame, et F diferentseerimine annab f ja integreerimine f annab integraali. See on sageli kirjutatud kujul F (x) = ∫ƒ (x) dx või F = ∫ƒ dx, kus nii F kui ka ƒ on x funktsioonid ja F on diferentseeritav. Ülaltoodud kujul nimetatakse seda Reimanni integraaliks ja saadud funktsioon kaasneb suvalise konstandiga. Määramata integraal tekitab sageli funktsioonide perekonna; seetõttu on integraal määramatu.
Integraalid ja integratsiooniprotsess on diferentsiaalvõrrandite lahendamise keskmes. Kuid erinevalt diferentseerimisest ei järgi integratsioon alati selget ja standardset rutiini; mõnikord ei saa lahendit selgesõnaliselt väljendada põhifunktsioonina. Sellisel juhul antakse analüütiline lahus määramata integraali kujul.
Lisateave Definite Integrals'i kohta
Kindlad integraalid on määramatute integraalide väga hinnatud vasted, kus integreerimisprotsess toodab tegelikult lõpliku arvu. Seda saab graafiliselt määratleda kui funktsiooni cur kõveraga piiratud ala teatud intervalli jooksul. Iga kord, kui integratsiooni toimub etteantud intervalliga sõltumatu muutuja, integratsiooni toodab kindlat väärtust, mis on sageli kirjutatud ∫ b ƒ (x) dx või ∫ b ƒdx.
Määramata integraalid ja kindlad integraalid on omavahel seotud arvutuse esimese põhiteoreemi kaudu ja see võimaldab kindlat integraali arvutada määramata integraalide abil. Lause ütleb a ∫ b ƒ (x) dx = F (b) -F (a), kus nii F kui ka ƒ on x funktsioonid ja F on intervallis (a, b) diferentseeruv. Võttes arvesse intervalli, on a ja b tuntud vastavalt alumise ja ülemise piirina.
Selle asemel, et peatuda ainult reaalsete funktsioonidega, saab integratsiooni laiendada keerukatele funktsioonidele ja neid integraale nimetatakse kontuuriintegraalideks, kus ƒ on kompleksmuutuja funktsioon.
Mis vahe on kindlatel ja määramata integraalidel?
Määramata integraalid esindavad funktsiooni tuletamisvastast tegevust ja sageli pigem funktsioonide perekonda kui kindlat lahendust. Kindlas integraalis annab integreerimine lõpliku arvu.
Määramata integraalid seovad suvalise muutuja (seega funktsioonide perekond) ja kindlatel integraalidel pole suvaline konstant, vaid integratsiooni ülemine ja alumine piir.
Määramata integraal annab tavaliselt diferentsiaalvõrrandile üldise lahenduse.
