Logaritmiline vs eksponentsiaalne Eksponentsiaalfunktsioon vs logaritmiline funktsioon
Funktsioonid on üks olulisemaid matemaatiliste objektide klasse, mida kasutatakse laialdaselt peaaegu kõigis matemaatika alavaldkondades. Kuna nende nimed viitavad nii eksponentsiaalfunktsioonile kui ka logaritmilisele funktsioonile, on kaks erifunktsiooni.
Funktsioon on suhe kahe hulga vahel, mis on määratletud nii, et esimese hulga iga elemendi jaoks on teises komplektis sellele vastav väärtus ainulaadne. Olgu the funktsioon, mis on määratud hulga A ja hulga B vahel. Seejärel tähistab iga x ϵ A puhul sümbol ƒ (x) hulga B ainulaadset väärtust, mis vastab x-le. Seda nimetatakse x kujutiseks under all. Seetõttu on seos ƒ A-st B-ks funktsioon ja ainult siis, kui iga x ϵ A ja y ϵ A korral, kui x = y, siis ƒ (x) = ƒ (y). Hulka A nimetatakse funktsiooni domain domeeniks ja see on komplekt, milles funktsioon on määratletud.
Mis on eksponentsiaalfunktsioon?
Eksponentsiaalfunktsioon on funktsioon, mille annab ƒ (x) = e x, kus e = lim (1 + 1 / n) n (≈ 2,718…) ja on transtsendentaalne irratsionaalne arv. Funktsiooni üks eripära on see, et funktsiooni tuletis võrdub iseendaga; st kui y = e x, dy / dx = e x. Samuti on funktsioon igal pool pidevalt kasvav funktsioon, millel asümptoodina on x-telg. Seetõttu on funktsioon ka üks ühele. Iga x ϵ R jaoks on meil see e x > 0 ja saab näidata, et see on R + peal. Samuti järgib see põhiidentiteeti e x + y = e x.e y ja e 0= 1. Funktsiooni saab esitada ka seeria laienduse abil, mille annab 1 + x / 1! + X 2 /2! + X 3 /3! +… + X n / n! +…
Mis on logaritmiline funktsioon?
Logaritmiline funktsioon on eksponentsiaalfunktsiooni pöördfunktsioon. Kuna eksponentsiaalfunktsioon on üks ühele ja peale R +, saab funktsiooni g määratleda positiivsete reaalarvude hulgast reaalarvude hulka, mille annab g (y) = x, ainult siis, kui = e x. Seda funktsiooni g nimetatakse logaritmiliseks funktsiooniks või kõige sagedamini loodusliku logaritmina. Seda tähistatakse g (x) = log e x = ln x. Kuna tegemist on eksponentsiaalfunktsiooni pöördvõrdega, siis kui võtta eksponentsiaalfunktsiooni graafiku peegeldus sirge y = x kohal, siis on meil logaritmilise funktsiooni graafik. Seega on funktsioon y-telje suhtes asümptootiline.
Logaritmiline funktsioon järgib mõningaid põhireegleid, millest kõige olulisemad on ln xy = ln x + ln y, ln x / y = ln x - ln y ja ln xy = y ln x. See on ka suurenev funktsioon ja see on pidev kõikjal. Seetõttu on see ka üks-ühele. Võib näidata, et see asub R-l.
Mis vahe on eksponentsiaalsel funktsioonil ja logaritmilisel funktsioonil?
• Eksponentsiaalfunktsiooni annab by (x) = e x, logaritmilise funktsiooni annab g (x) = ln x ja esimene on teise pöördvõrdeline.
• Eksponentsiaalfunktsiooni domeen on reaalarvude hulk, kuid logaritmilise funktsiooni domeen on positiivsete reaalarvude hulk.
• Eksponentsiaalfunktsiooni vahemik on positiivsete reaalarvude hulk, kuid logaritmilise funktsiooni vahemik on reaalarvude hulk.
