Vastastikku välistavad ja sõltumatud sündmused
Inimesed ajavad sageli üksteist välistavate sündmuste mõiste segamini iseseisvate sündmustega. Tegelikult on need kaks erinevat asja.
Olgu A ja B suvalised kaks juhusliku eksperimendiga seotud sündmust. P (A) nimetatakse “A tõenäosuseks”. Samamoodi saame määratleda B tõenäosuse P (B), A või B tõenäosuse P (A (B) ning A ja B tõenäosuse P (A∩B). Seejärel P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B).
Kaks sündmust, mis on väidetavalt üksteist välistavad, kui ühe sündmuse toimumine teist ei mõjuta. Teisisõnu, need ei saa esineda üheaegselt. Seega, kui kaks sündmust A ja B on üksteist välistavad, siis A∩B = ∅ ja seega tähendab see P (A∪B) = P (A) + P (B).
Olgu A ja B kaks sündmust prooviruumis S. A tinglikku tõenäosust, arvestades, et B on toimunud, tähistatakse P (A | B) -ga ja see on määratletud järgmiselt: P (A | B) = P (A∩B) / P (B), tingimusel et P (B)> 0. (muidu pole see määratletud.)
Sündmust A peetakse sündmusest B sõltumatuks, kui A esinemise tõenäosust ei mõjuta see, kas B on toimunud või mitte. Teisisõnu, sündmuse B tulemusel ei ole mingit mõju sündmuse A tulemusele. Seetõttu P (A | B) = P (A). Samamoodi on B sõltumatu A-st, kui P (B) = P (B | A). Seega võime järeldada, et kui A ja B on sõltumatud sündmused, siis P (A∩B) = P (A). P (B)
Oletame, et rullitakse nummerdatud kuup ja keeratakse õiglane münt. Olgu A pea- ja B-paarisarvu veeretav sündmus. Siis võime järeldada, et sündmused A ja B on sõltumatud, sest ühe tulemus ei mõjuta teise tulemust. Seetõttu P (A∩B) = P (A). P (B) = (1/2) (1/2) = 1/4. Kuna P (A∩B) ≠ 0, ei saa A ja B üksteist välistada.
Oletame, et urn sisaldab 7 valget ja 8 musta marmorit. Määratlege sündmus A valge marmori joonistamiseks ja sündmus B musta marmori joonistamiseks. Eeldades, et iga marmor asendatakse pärast selle värvi märkimist, on P (A) ja P (B) alati samad, olenemata sellest, mitu korda me urnist joonistame. Marmorite asendamine tähendab, et tõenäosused ei muutu joonistamisel jooniseks, olenemata sellest, mis värvi me viimasel loosimisel valisime. Seetõttu on sündmus A ja B sõltumatud.
Kui aga marmorid joonistati ilma asendamiseta, siis kõik muutub. Selle eelduse kohaselt ei ole sündmused A ja B sõltumatud. Esimest korda valge marmori joonistamine muudab musta marmori joonistamise tõenäosust teisel joonisel ja nii edasi. Teisisõnu, igal loosimisel on mõju järgmisele loosimisele ja seega pole üksikute loosimised sõltumatud.
Erinevus üksteist välistavate ja sõltumatute sündmuste vahel
- Sündmuste vastastikune ainuõigus tähendab, et komplektid A ja B ei kattu. Sündmuste sõltumatus tähendab, et A juhtumine ei mõjuta B juhtumist.
- Kui kaks sündmust A ja B välistavad üksteist, siis P (A∩B) = 0.
- Kui kaks sündmust A ja B on sõltumatud, siis P (A∩B) = P (A). P (B)
