Kardinal vs tavaline
Meie igapäevases elus võib numbrite kasutamine erinevates olukordades olla erinev. Näiteks kui loeme objektide kogu suuruse väljaselgitamiseks, loeme need üheks, kaheks, kolmeks jne. Kui tahame objektide asukoha mõistmiseks midagi kokku lugeda, loeme need esimeseks, teiseks, kolmandaks jne. Esimeses loendamisvormis öeldakse, et arvud on kardinaalsed numbrid. Loendamise teises vormis loetakse numbreid järjestusnumbriteks. Selles kontekstis on kardinaali ja ordinaali mõisted täielikult keeleteaduse küsimus; kardinal ja järjestus on omadussõnad.
Mõiste laiendamine matemaatikas komplektidele näitab aga palju sügavamat ja laiemat perspektiivi ning seda ei saa käsitleda lihtsustatult. Selles artiklis püüame mõista põhi- ja järjenumbrite mõisteid matemaatikas.
Kardinaali ja järjenumbrite ametlikud definitsioonid on toodud hulga teoorias. Mõisted on keerukad ja nende mõistmiseks täiuslikus mõttes on tausttehnoloogia kogumiteoorias vajalik. Seetõttu pöördume paari näite poole, mõistmaks mõisteid heuristiliselt.
Vaatleme kahte komplekti {1,3,6,4,5,2} ja {buss, auto, praam, rong, lennuk, helikopter}. Iga komplekt loetleb hulga elemente ja kui loeme elementide arvu, on ilmne, et kummalgi on sama arv elemente, mis on 6. Sellele järeldusele jõudes oleme võtnud ühe hulga suuruse ja võrreldes teist, kasutades number. Sellist arvu nimetatakse kardinalnumbriks. Seetõttu võime öelda, et kardinalnumber on arv, mille abil saame võrrelda lõplike hulkade suurust.
Jällegi saab esimese numbrikomplekti järjestada kasvavas järjekorras, arvestades iga elemendi suurust ja neid omavahel võrreldes. Tellimise käigus loetakse numbreid kardinalideks. Samamoodi saab kõigi mittenegatiivsete täisarvude hulga järjestada; st {0,1,2,3,4, …..}. Kuid sel juhul muutub komplekti suurus lõpmatuks ja selle andmine ordinaalide kujul pole võimalik. Olenemata sellest, kui suure numbri hulga suuruse saamiseks valite, jäävad sellegipoolest valitavast hulgast välja numbrid, mis on mittegatiivsed täisarvud.
Seetõttu määravad matemaatikud selle lõpmatu kardinaali (mis on esimene) kui Aleph-0, kirjutatud tähega א (heebrea tähestiku esimene täht). Formaalselt on järjekorranumber hästi järjestatud komplekti järjekorratüüp. Seetõttu saab lõplike hulkade järjekorranumbri anda kardinalnumbritega, kuid lõpmatute hulga korral antakse järjestus transfiniitsete arvudega nagu Aleph-0.
Mis vahe on kardinal- ja järjenumbritel?
• Kardinalnumber on arv, mida saab kasutada lõpliku järjestatud hulga loendamiseks või suuruse määramiseks. Kõik kardinalnumbrid on tavalised.
• Järjestusnumbrid on numbrid, mida kasutatakse nii lõplike kui ka lõpmatute järjestuste hulga suuruse andmiseks. Lõplike järjestuste hulga suuruse määravad tavalised hindu-araabia algebralised numbrid ja lõpmatu hulga suuruse annavad transfinite arvud.
