Riemann Integral vs Lebesgue Integral
Integreerimine on arvutuse põhiteema. Broderi mõistes võib integratsiooni pidada diferentseerimise vastupidiseks protsessiks. Reaalsete probleemide modelleerimisel on tuletisi hõlmavaid väljendeid lihtne kirjutada. Sellises olukorras on konkreetse tuletise andnud funktsiooni leidmiseks vaja integreerimisoperatsiooni.
Teise nurga alt on integratsioon protsess, mis võtab kokku funktsiooni ƒ (x) ja δx korrutise, kus δx kipub olema teatud piir. Seetõttu kasutame integratsioonisümbolit as-na. Sümbol ∫ on tegelikult see, mille saame, sirutades tähe s summa tähistamiseks.
Riemann Integral
Vaatleme funktsiooni y = ƒ (x). Y integraal a ja b vahel, kus a ja b kuuluvad hulgale x, kirjutatakse järgmiselt: b ∫ a ƒ (x) dx = [F (x)] a → b = F (b) - F (a). Seda nimetatakse a ja b vahelise väärtustatud ja pideva funktsiooni y = ƒ (x) kindla integraalina. See annab kõvera aluse ala a ja b vahel. Seda nimetatakse ka Riemanni integraaliks. Riemanni integraali lõi Bernhard Riemann. Pideva funktsiooni Riemann-integraal põhineb Jordani mõõdul, seetõttu on see määratletud ka funktsiooni Riemann-summade piirina. Suletud intervalliga määratletud reaalselt hinnatud funktsiooni korral on funktsiooni Riemann integraal partitsiooni x 1, x 2,…, x n suhtesmääratletud intervallil [a, b] ja t 1, t 2,…, t n, kus x i ≤ t i ≤ x i + 1 iga i ε {1, 2,…, n} jaoks, on määratletud Riemanni summa kui Σ i = o kuni n-1 ƒ (t i) (x i + 1 - x i).
Lebesgue Integral
Lebesgue on teist tüüpi integraal, mis hõlmab paljusid erinevaid juhtumeid kui Riemanni integraal. Lebesgue'i integraali võttis kasutusele Henri Lebesgue aastal 1902. Legesgue'i integratsiooni võib pidada Riemanni integratsiooni üldistuseks.
Miks peame uurima veel ühte integraali?
Vaatleme funktsiooni ƒ A (x) = { 0, kui x pole ε A 1 kui, x ε A hulgal A. Seejärel iseloomulike funktsioonide lõplik lineaarne kombinatsioon, mis on määratletud kui F (x) = Σ a i ƒ E i (x) nimetatakse lihtsaks funktsiooniks, kui E i on mõõdetav iga i jaoks. F (x) Lebesgue'i integraali üle E tähistatakse E ∫ ƒ (x) dx. Funktsioon F (x) ei ole Riemanni integreeritav. Seetõttu sõnastab Lebesgue'i integraal ümber Riemanni integraali, millel on integreeritavate funktsioonide suhtes mõned piirangud.
Mis vahe on Riemann Integralil ja Lebesgue Integralil?
· Lebesgue'i integraal on Riemanni integraali üldistusvorm.
· Lebesgue'i integraal lubab katkestuste loendamatut lõpmatust, Riemann integraal aga piiratud arvu katkestusi.
