Diskreetne funktsioon vs pidev funktsioon
Funktsioonid on üks olulisemaid matemaatiliste objektide klasse, mida kasutatakse laialdaselt peaaegu kõigis matemaatika alavaldkondades. Kuna nende nimed viitavad nii diskreetsetele kui ka pidevatele funktsioonidele, on need kaks eritüüpi funktsioone.
Funktsioon on suhe kahe hulga vahel, mis on määratletud nii, et esimese hulga iga elemendi jaoks on teises komplektis sellele vastav väärtus ainulaadne. Olgu f funktsioon, mis on määratud hulga A ja hulga B vahel. Seejärel tähistab iga x ϵ A puhul sümbol f (x) hulga B unikaalset väärtust, mis vastab x-le. Seda nimetatakse x kujutiseks f all. Seepärast on seos f A-st B-ks funktsioon, siis ja ainult siis, kui iga xϵ A ja y ϵ A; kui x = y, siis f (x) = f (y). Hulka A nimetatakse funktsiooni f domeeniks ja see on komplekt, milles funktsioon on määratletud.
Vaatleme näiteks suhet f R-st R-ni, mis on määratletud f (x) = x + 2 iga xϵ A jaoks. See on funktsioon, mille domeen on R, nagu iga reaalarvu x ja y puhul, tähendab x = y f (x) = x + 2 = y + 2 = f (y). Kuid seos g N-st N-ni, mille määratleb g (x) = a, kus 'a' on x peamised tegurid, ei ole funktsioon nii g (6) = 3 kui ka g (6) = 2.
Mis on diskreetne funktsioon?
Diskreetne funktsioon on funktsioon, mille domeen on maksimaalselt loendatav. Lihtsalt see tähendab, et on võimalik koostada nimekiri, mis sisaldab kõiki domeeni elemente.
Iga piiratud komplekt on maksimaalselt loendatav. Loodusarvude hulk ja ratsionaalsete arvude hulk on näited kõige rohkem loendamatute lõpmatute hulkade jaoks. Reaalarvude hulk ja irratsionaalsete arvude hulk pole kõige rohkem loendatavad. Mõlemad komplektid on loendamatud. See tähendab, et on võimatu koostada loetelu, mis sisaldab nende komplektide kõiki elemente.
Üks levinumaid diskreetseid funktsioone on faktoriaalfunktsioon. f: NU {0} → N rekursiivselt määratletud f (n) = nf (n-1) iga n ≥ 1 korral ja f (0) = 1 nimetatakse faktoriaalfunktsiooniks. Pange tähele, et selle domeen NU {0} on maksimaalselt loendatav.
Mis on pidev funktsioon?
Olgu f selline funktsioon, et f iga domeeni k korral oleks f (x) → f (k) x → k. Siis f on pidev funktsioon. See tähendab, et f (x) on võimalik teha meelevaldselt f (k) lähedale, tehes x f-i iga k jaoks k-le piisavalt lähedale.
Vaatleme funktsiooni f (x) = x + 2 R-l. On näha, et kui x → k, x + 2 → k + 2, mis on f (x) → f (k). Seetõttu on f pidev funktsioon. Nüüd kaaluge g positiivsetel reaalarvudel g (x) = 1, kui x> 0, ja g (x) = 0, kui x = 0. Siis pole see funktsioon pidev funktsioon, kuna g (x) piiri pole olemas (ja seega pole see võrdne g (0)) kui x → 0.
Mis vahe on diskreetse ja pideva funktsiooni vahel?
• Diskreetne funktsioon on funktsioon, mille domeen on maksimaalselt loendatav, kuid pidevfunktsioonide puhul seda ei pea olema.
• Kõigil pidevatel funktsioonidel ƒ on omadus, et ƒ (x) → ƒ (k) kui x → k iga x ja iga k korral ƒ domeenis, kuid mõnes diskreetses funktsioonis see nii ei ole.
