Tõenäosuse jaotuse funktsioon vs tõenäosuse tiheduse funktsioon
Tõenäosus on sündmuse toimumise tõenäosus. See idee on väga levinud ja seda kasutatakse igapäevases elus sageli, kui hindame oma võimalusi, tehinguid ja paljusid muid asju. Selle lihtsa kontseptsiooni laiendamine suurematele sündmustele on natuke keerulisem. Näiteks ei saa me hõlpsasti välja selgitada loteriivõidu võimalusi, kuid on mugav, pigem intuitiivne öelda, et kuuest kuuest on tõenäosus, et läheme visatud täringutega kuuele kohale.
Kui toimuvate sündmuste arv muutub suuremaks või üksikute võimaluste arv on suur, kukub see üsna lihtne tõenäosuse idee läbi. Seetõttu tuleb enne suurema keerukusega probleemidele lähenemist anda sellele kindel matemaatiline määratlus.
Kui ühes olukorras võib toimuda palju sündmusi, on võimatu käsitleda iga sündmust eraldi nagu visatud täringute näitel. Seega võetakse kokku kogu sündmuste komplekt juhusliku muutuja mõiste tutvustamisega. See on muutuja, mis võib eeldada erinevate sündmuste väärtusi selles konkreetses olukorras (või valimisruumis). See annab matemaatilise mõtte olukorra lihtsatele sündmustele ja matemaatilise viisi sündmuse käsitlemiseks. Täpsemalt öeldes on juhuslik muutuja näidisruumi elementide kohal tegelik väärtusfunktsioon. Juhuslikud muutujad võivad olla kas diskreetsed või pidevad. Tavaliselt tähistatakse neid inglise tähestiku suurtähtedega.
Tõenäosuse jaotuse funktsioon (või lihtsalt tõenäosuse jaotus) on funktsioon, mis määrab iga sündmuse tõenäosuse väärtused; st see annab seose nende väärtuste tõenäosustega, mida juhuslik muutuja võib võtta. Tõenäosuse jaotuse funktsioon on määratletud diskreetsete juhuslike muutujate jaoks.
Tõenäosustiheduse funktsioon on samaväärne pidevate juhuslike muutujate tõenäosusjaotuse funktsiooniga, annab teatud juhusliku suuruse tõenäosuse teatud väärtuse omandamiseks.
Kui X on diskreetne juhuslik muutuja, nimetatakse funktsiooni f (x) = P (X = x) iga X-i vahemikus X vahemikus X tõenäosusjaotuse funktsiooniks. Funktsioon võib toimida tõenäosusjaotuse funktsioonina siis ja ainult siis, kui funktsioon vastab järgmistele tingimustele.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x) = 1
Reaalarvude hulga kohal määratletud funktsiooni f (x) nimetatakse pideva juhusliku muutuja X tõenäosustiheduse funktsiooniks ainult siis, kui
P (a ≤ x ≤ b) = a ∫ b f (x) dx mis tahes reaalse konstandi a ja b korral.
Tõenäosustiheduse funktsioon peaks vastama ka järgmistele tingimustele.
1. f (x) ≥ 0 kõigi x korral: -∞ <x <+ ∞
2. -∞ ∫ + ∞ f (x) dx = 1
Nii tõenäosusjaotuse kui ka tõenäosustiheduse funktsiooni kasutatakse tõenäosuste jaotuse valimisruumis esitamiseks. Tavaliselt nimetatakse neid tõenäosuse jaotusteks.
Statistilise modelleerimise jaoks tuletatakse standardsed tõenäosustiheduse ja tõenäosuse jaotuse funktsioonid. Normaaljaotus ja standardne normaaljaotus on näited pidevatest tõenäosuse jaotustest. Binomiaaljaotus ja Poissoni jaotus on näited diskreetse tõenäosuse jaotuse kohta.
Mis vahe on tõenäosuse jaotusel ja tõenäosuse tiheduse funktsioonil?
• Tõenäosuse jaotuse funktsioon ja tõenäosuse tiheduse funktsioon on valimisruumis määratletud funktsioonid, et määrata igale elemendile asjakohane tõenäosuse väärtus.
• Diskreetsete juhuslike muutujate jaoks on määratletud tõenäosuse jaotuse funktsioonid, pidevate juhuslike muutujate jaoks aga tõenäosuse tiheduse funktsioonid.
• Tõenäosusväärtuste (st tõenäosusjaotuste) jaotust kujutavad kõige paremini tõenäosustiheduse funktsioon ja tõenäosusjaotuse funktsioon.
• Tõenäosuse jaotuse funktsiooni saab tabelis esitada väärtustena, kuid tõenäosustiheduse funktsiooni puhul pole see võimalik, kuna muutuja on pidev.
• Kavandatuna annab tõenäosusjaotuse funktsioon tulpdiagrammi, tõenäosustiheduse funktsioon aga kõvera.
• Tõenäosusjaotuse funktsiooni tulpade kõrgus / pikkus peab lisama 1, tõenäosustiheduse funktsiooni kõvera alune pindala aga 1.
• Mõlemal juhul ei tohi funktsiooni kõik väärtused olla negatiivsed.
