Juhuslikud muutujad vs tõenäosuse jaotus
Statistilised katsed on juhuslikud katsed, mida saab teadaolevate tulemuste kogumiga piiramatult korrata. Selliste katsetega on seotud nii juhuslikud muutujad kui ka tõenäosuse jaotused. Iga juhusliku muutuja jaoks on seotud tõenäosusjaotus, mille määrab funktsioon, mida nimetatakse kumulatiivseks jaotuse funktsiooniks.
Mis on juhuslik muutuja?
Juhuslik muutuja on funktsioon, mis määrab statistilise katse tulemustele arvväärtused. Teisisõnu, see on funktsioon, mis on määratletud statistilise katse valimisruumist reaalarvude hulka.
Näiteks kaaluge juhuslikku katset mündi kaks korda ümberpööramiseks. Võimalikud tulemused on HH, HT, TH ja TT (H-pead, T-lood). Olgu muutuja X katses täheldatud peade arv. Siis saab X võtta väärtused 0, 1 või 2 ja see on juhuslik muutuja. Siin kaardistab juhuslik muutuja X hulga S = {HH, HT, TH, TT} (näidisruum) komplektiga {0, 1, 2} nii, et HH kaardistatakse väärtusega 2, HT ja TH on kaardistatud 1-ni ja TT on kaardistatud 0. Funktsioonide tähistuses võib selle kirjutada järgmiselt: X: S → R, kus X (HH) = 2, X (HT) = 1, X (TH) = 1 ja X (TT) = 0.
Juhuslikke muutujaid on kahte tüüpi: diskreetne ja pidev, vastavalt võimalike väärtuste arv, mida juhuslik muutuja võib eeldada, on maksimaalselt loendatav või mitte. Eelmises näites on juhuslik muutuja X diskreetne juhuslik muutuja, kuna {0, 1, 2} on piiratud hulk. Mõelge nüüd klassi õpilaste kaalude leidmise statistilisele katsele. Olgu Y juhuslik muutuja, mis on määratletud õpilase kaaluna. Y võib konkreetse intervalli jooksul võtta mis tahes tegeliku väärtuse. Seega on Y pidev juhuslik muutuja.
Mis on tõenäosusjaotus?
Tõenäosusjaotus on funktsioon, mis kirjeldab juhusliku muutuja tõenäosust teatud väärtuste saamiseks.
Funktsiooni, mida nimetatakse kumulatiivseks jaotusfunktsiooniks (F), saab reaalarvude hulga ja reaalarvude hulga vahel defineerida järgmiselt: F (x) = P (X ≤ x) (tõenäosus, et X on väiksem või võrdne x) iga võimalik tulemus x. Nüüd saab esimeses näites X kumulatiivse jaotuse funktsiooni kirjutada järgmiselt: F (a) = 0, kui a <0; F (a) = 0,25, kui 0≤a <1; F (a) = 0,75, kui 1≤a <2 ja F (a) = 1, kui a ≥2.
Diskreetsete juhuslike muutujate korral saab funktsiooni määratleda võimalike tulemuste hulgast reaalarvude hulgani nii, et ƒ (x) = P (X = x) (tõenäosus, et X võrdub x-ga) iga võimaliku tulemuse jaoks x. Seda konkreetset funktsiooni ƒ nimetatakse juhusliku suuruse X tõenäosusmassi funktsiooniks. Nüüd võib esimeses konkreetses näites X tõenäosusmassi funktsiooni kirjutada järgmiselt: ƒ (0) = 0,25, ƒ (1) = 0,5, ƒ (2) = 0,25 ja muul juhul ƒ (x) = 0. Seega kirjeldab tõenäosusmassi funktsioon koos kumulatiivse jaotuse funktsiooniga esimeses näites X tõenäosuse jaotust.
Pidevate juhuslike muutujate korral võib funktsiooni, mida nimetatakse tõenäosustiheduse funktsiooniks (ƒ), määratleda järgmiselt: x (x) = dF (x) / dx iga x korral, kus F on pideva juhusliku muutuja kumulatiivne jaotusfunktsioon. On lihtne näha, et see funktsioon rahuldab ∫ƒ (x) dx = 1. Tõenäosustiheduse funktsioon koos kumulatiivse jaotuse funktsiooniga kirjeldab pideva juhusliku muutuja tõenäosusjaotust. Näiteks normaaljaotust (mis on pidev tõenäosusjaotus) kirjeldatakse tõenäosustiheduse funktsiooni ƒ (x) = 1 / √ (2πσ 2) e ^ ([(x-µ)] 2 / (2σ 2)) abil..
Mis vahe on juhuslike muutujate ja tõenäosuse jaotuse vahel?
• Juhuslik muutuja on funktsioon, mis seob prooviruumi väärtused reaalarvuga.
• Tõenäosuse jaotus on funktsioon, mis seob juhusliku suuruse kasutatavad väärtused vastava esinemise tõenäosusega.
