Reaalarvud vs kujuteldavad numbrid
Numbrid on matemaatilised objektid, mida kasutatakse loendamiseks ja mõõtmiseks. Selle määratlus on aastate jooksul muutunud, lisades nullid, negatiivsed arvud, ratsionaalsed arvud, irratsionaalsed arvud ja kujuteldavad arvud. Kuigi arvusüsteemide abstraktne alus on seotud algebraliste struktuuridega nagu rühmad, rõngad ja väljad, esitatakse siin ainult intuitiivne idee.
Mis on tegelik arv?
Mitteametlikult määratledes on reaalarv arv, mille ruut ei ole negatiivne. Matemaatilises tähistuses tähistame reaalarvude kogumit sümboliga R. Seega saab kõigi x puhul, kui x ϵ R, siis x 2 ≥ 0. Rangemal viisil saab reaalarvude hulga sisestada binaaroperatsiooniga + ja ainulaadse, täielikult järjestatud väljana. koos tellimusseosega <. See järjestussuhe järgib trihhotoomia seadust, mis ütleb, et antud kahe reaalarvu x ja y korral kehtib neist 3 üks ja ainult üks; x> y, x <y või x = y.
Reaalarv võib olla kas algebraline või transtsendentaalne sõltuvalt sellest, kas see on täisarvu koefitsientidega polünoomvõrrandi juur või mitte. Samuti võib reaalarv olla kas ratsionaalne või irratsionaalne sõltuvalt sellest, kas seda saab väljendada kahe täisarvu suhtena või mitte. Näiteks 2,5 on reaalarv, mis on algebraline ja ratsionaalne, kuid ᴫ on nii irratsionaalne kui ka transtsendentaalne.
Reaalarvude komplekt on täielik. See tähendab, et iga ülaltoodud reaalarvude mittevaba alamhulga jaoks on vähemalt ülemine piir ja sellest võib järeldada, et reaalsete arvude iga mittevaba alamhulga puhul, mis on allpool piiratud, on suurim alumine piir. See eristab reaalarvude hulga ratsionaalsete arvude hulgast. Võib väita, et reaalarvude hulk ehitatakse mittetäielike ratsionaalsete arvude hulga tühimike täitmisega, tühikud on irratsionaalsed arvud.
Mis on kujuteldav arv?
Kujuteldav arv on arv, mille ruut on negatiivne. Teisisõnu, arvud nagu √ (-1), √ (-100) ja √ (- e) on kujuteldavad arvud. Kõiki kujuteldavaid numbreid saab kirjutada kujul ai, kus i on kujuteldav üksus √ (-1) ja a on nullist erinev reaalarv. (Pange tähele, et i 2 = -1). Ehkki need arvud näivad olevat mitte reaalsed ja nagu nimigi osutab olematuks, kasutatakse neid paljudes reaalses maailmas olulistes rakendustes sellistes valdkondades nagu lennundus, elektroonika ja tehnika.
Mis vahe on tegelikel ja väljamõeldud numbritel?
• Reaalarvu ruut ei ole negatiivne, kuid kujuteldava arvu ruut on negatiivne.
• Reaalarvude komplekt moodustab täieliku täielikult järjestatud välja, samas kui kujuteldavate arvude hulk pole täielik ega järjestatud.
