Assotsiatiivne vs kommutatiivne
Oma igapäevases elus peame kasutama numbreid alati, kui on vaja millegi mõõtmiseks. Toidupoes, bensiinijaamas ja isegi köögis peame liitma, lahutama ja korrutama kaks või enam kogust. Meie praktika järgi teeme need arvutused üsna vaevata. Me ei märka ega kahtle kunagi, miks me neid toiminguid just sel viisil teeme. Või miks ei saa neid arvutusi teha teisiti. Vastus on peidetud nende toimingute määratlemise viisis algebra matemaatilises väljas.
Algebras määratletakse kaks suurust hõlmav operatsioon (näiteks liitmine) binaaroperatsioonina. Täpsemalt on tegemist hulga kahe elemendi vahelise operatsiooniga ja neid elemente nimetatakse operandiks. Mitmeid matemaatikaülesandeid, sealhulgas varem mainitud aritmeetilisi toiminguid ning komplekti teoorias, lineaarses algebras ja matemaatilises loogikas kokku puutuvaid toiminguid saab määratleda binaarsete toimingutena.
Konkreetse binaaroperatsiooni kohta on olemas hulk reguleerivaid reegleid. Assotsiatiivsed ja kommutatiivsed omadused on binaaroperatsioonide kaks põhiomadust.
Lisateave kommutatiivse omaduse kohta
Oletame, et elementidele A ja B tehakse mõni binaaroperatsioon, mida tähistatakse sümboliga ⊗. Kui operandide järjestus ei mõjuta operatsiooni tulemust, siis öeldakse, et operatsioon on kommutatiivne. st kui A ⊗ B = B ⊗ A, siis on toiming kommutatiivne.
Aritmeetiliste tehete liitmine ja korrutamine on kommutatiivsed. Kokku liidetud või korrutatud numbrite järjekord ei mõjuta lõplikku vastust:
A + B = B + A ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9
A × B = B × A ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20
Kuid jagunemise korral annab järjekorra muutus teise vastastikuse ja lahutamisel muudatus teise negatiivse. Seetõttu
A - B ≠ B - A ⇒ 4 - 5 = -1 ja 5 - 4 = 1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5 = 0,8 ja 5 ÷ 4 = 1,25 [antud juhul A, B ≠ 1 ja 0]
Tegelikult öeldakse, et lahutamine on kommutatiivne; kus A - B = - (B - A).
Samuti on kommutatiivsed ka loogilised ühendused, sidesõna, disjunktsioon, implikatsioon ja samaväärsus. Tõe funktsioonid on samuti kommutatiivsed. Määratud operatsioonide liit ja ristmik on kommutatiivsed. Samuti on vektorite liitmine ja skalaarprodukt kommutatiivsed.
Kuid vektorite lahutamine ja vektorprodukt pole kommutatiivsed (kahe vektori vektorprodukt on kommutatiivne). Maatriksi liitmine on kommutatiivne, kuid korrutamine ja lahutamine pole kommutatiivsed. (Kahe maatriksi korrutamine võib olla kommutatiivne erijuhtudel, näiteks maatriksi korrutamine selle pöörd- või identsusmaatriksiga; kuid kindlasti ei ole maatriksid kommutatiivsed, kui maatriksid pole ühesuurused.
Lisateave assotsiatiivvara kohta
Binaarset toimingut peetakse assotsiatiivseks, kui täitmise järjekord ei mõjuta tulemust, kui esineb kaks või enam operaatori esinemist. Vaatleme elemente A, B ja C ning kahendoperatsiooni ⊗. Operatsiooni ⊗ kohta öeldakse, et see on assotsiatiivne, kui
A ⊗ B ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C) = (A ⊗ B) ⊗ C
Aritmeetika põhifunktsioonidest on assotsiatiivsed ainult liitmine ja korrutamine.
A + (B + C) = (A + B) + C 4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12
A × (B × C) = (A × B) × C × 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60
Lahutamine ja jagamine ei ole assotsiatiivsed;
A - (B - C) ≠ (A - B) - C 4 - (5 - 3) = 2 ja (5 - 4) - 3 = -2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C 4 ÷ (5 ÷ 3) = 2,4 ja (5 ÷ 4) ÷ 3 = 0,2666
Loogilised ühendused disjunktsioon, konjunktsioon ja ekvivalents on assotsiatiivsed, samuti määratud operatsioonide liit ja ristmik. Maatriks ja vektori liitmine on assotsiatiivsed. Vektorite skalaarkorrutis on assotsiatiivne, kuid vektorprodukt mitte. Maatriksi korrutamine on assotsiatiivne ainult erilistel asjaoludel.
Mis vahe on kommutatiivsel ja assotsieerival omadusel?
• Nii assotsiatiivne omadus kui ka kommutatiivne omadus on binaaroperatsioonide eriomadused ja mõned rahuldavad neid ja mõned mitte.
• Neid omadusi võib näha mitmetes algebraliste operatsioonide ja muude matemaatika binaarsete toimingute vormides, näiteks ristumiskoht ja liit hulgateoorias või loogilised ühendused.
• Kommutatiivse ja assotsiatiivse vahe seisneb selles, et kommutatiivne omadus väidab, et elementide järjestus ei muuda lõpptulemust, samas kui assotsiatiivne omadus kinnitab, et toimingu teostamise järjekord ei mõjuta lõplikku vastust.
