Integratsiooni Ja Summeerimise Erinevus

2024 Autor: Mildred Bawerman | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2023-12-16 08:38

Integratsioon vs liitmine

Keskkooli matemaatikas leidub matemaatilistes toimingutes sageli integratsiooni ja liitmist. Näiliselt kasutatakse neid erinevate vahenditena ja erinevates olukordades, kuid neil on väga lähedased suhted.

Lisateavet Summeerimise kohta

Summeerimine on arvude jada lisamise toiming ja operatsiooni tähistatakse sageli kreeka tähega sigma Σ. Seda kasutatakse liitmise lühendamiseks ja jada summa / koguarvuga võrdseks. Neid kasutatakse sageli seeriate kujutamiseks, mis on sisuliselt lõpmatud järjestused. Neid saab kasutada ka vektorite, maatriksite või polünoomide summa tähistamiseks.

Summeerimine toimub tavaliselt väärtuste vahemiku jaoks, mida saab esindada üldterminiga, näiteks seeria, millel on ühine termin. Summa algus- ja lõpp-punkti nimetatakse vastavalt summeerimise alumiseks ja ülemiseks piiriks.

Näiteks jada a ₁, ₂, ₃, ₄,…, a _{n summa} on ₁ + a ₂ + a ₃ +… + a _n, mida saab hõlpsalt esitada summeerimismärgina as ⁿ _{i = 1} a _i; i nimetatakse liitmise indeksiks.

Rakenduse põhjal summeerimiseks kasutatakse palju variatsioone. Mõnel juhul võib ülemise ja alumise piiri anda intervalli või vahemikuna, näiteks ∑ _1≤i≤100 a _i ja ∑ _{i∈ [1100]} a _i. Või võib selle anda numbrikomplektina nagu ∑ _i∈P a _i, kus P on määratletud komplekt.

Mõnel juhul võib kasutada kahte või enamat sigmamärki, kuid neid saab üldistada järgmiselt; ∑ _j ∑ _k a _jk = ∑ _{j, k} a _jk.

Samuti järgib liitmine paljusid algebralisi reegleid. Kuna manustatud operatsioon on liitmine, saab summasid ja summeeritavaid üksikuid termineid rakendada paljudele algebra üldlevinud reeglitele.

Lisateave integratsiooni kohta

Integreerimine on määratletud kui diferentseerimise vastupidine protsess. Kuid geomeetrilises vaates võib seda pidada ka funktsiooni ja telje kõveraga ümbritsetud alaks. Seetõttu annab ala arvutamine kindla integraali väärtuse, nagu on näidatud diagrammil.

Pildi allikas:

Kindla integraali väärtus on tegelikult kõvera ja telje sees olevate väikeste ribade summa. Iga riba pindala on kõrgus × laius antud telje punktis. Laius on väärtus, mille saame valida, ütleme ∆x. Ja kõrgus on ligikaudu funktsiooni väärtus vaadeldavas punktis, ütleme f (x _i). Diagrammilt nähtub, et mida väiksemad ribad on paremad, siis ribad sobivad piiratud ala sisse, seega lähendatakse väärtust paremini.

Niisiis, punktide a ja b vaheline kindel integraal I (st intervallis [a, b], kus a1) ∆x + f (x ₂) ∆x + ⋯ + f (x _n) ∆x, kus n on ribade arv (n = (ba) / ∆x). Seda ala summeerimist saab hõlpsalt esitada summeerimismärkide abil, kui I ≅ ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x. Kuna lähendamine on parem, kui ∆x on väiksem, saame väärtuse arvutada, kui ∆x → 0. Seetõttu on mõistlik öelda I = lim _{∆x → 0} ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x.

Ülaltoodud mõistest tuleneva üldistusena saame valida ∆x, võttes aluseks i-ga indekseeritud kaalutud intervalli (valides ala laiuse asukoha järgi). Siis saame

I = lim _{∆x → 0} ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x _i = _a ∫ ^b f (x) dx

Seda tuntakse funktsiooni f (x) Reimann Integral intervallis [a, b]. Sel juhul on a ja b tuntud kui integraali ülemine ja alumine piir. Reimanni integraal on kõigi integratsioonimeetodite põhivorm.

Sisuliselt on integreerimine ala summa, kui ristküliku laius on lõpmata väike.

Mis vahe on integreerimisel ja liitmisel?

• Summeerimine on arvude järjestuse liitmine. Tavaliselt antakse summa sellisel kujul ∑ ⁿ _{i = 1} a _i, kui järjestuse terminitel on muster ja neid saab väljendada üldmõiste abil.

• Integreerimine on põhimõtteliselt ala, mida piirab funktsiooni kõver, telg ning ülemine ja alumine piir. Selle ala võib anda piiratud ala hulka kuuluvate palju väiksemate alade summana.

• Summeerimine hõlmab diskreetset väärtust koos ülemise ja alumise piiriga, samas kui integreerimine hõlmab pidevaid väärtusi.

• Integratsiooni saab tõlgendada summeerimise erivormina.

• Numbriliste arvutusmeetodite korral viiakse integreerimine alati kokku.