Lineaarsed vs mittelineaarsed diferentsiaalvõrrandid
Võrrandit, mis sisaldab vähemalt ühte tundmatu muutuja koefitsienti või tuletist, nimetatakse diferentsiaalvõrrandiks. Diferentsiaalvõrrand võib olla kas lineaarne või mittelineaarne. Selle artikli eesmärk on selgitada, mis on lineaarne diferentsiaalvõrrand, mis on mittelineaarne diferentsiaalvõrrand ning mis on lineaarse ja mittelineaarse diferentsiaalvõrrandi erinevus.
Alates matemaatikute, nagu Newton ja Leibnitz, arvutamisest 18. sajandil on diferentsiaalvõrrand mänginud matemaatika loos olulist rolli. Diferentsiaalvõrrandid on matemaatikas suure tähtsusega, kuna neil on palju rakendusi. Diferentsiaalvõrrandid on iga meie väljatöötatava mudeli keskmes, et selgitada mis tahes stsenaariumi või sündmust maailmas, olgu see siis füüsika, tehnika, keemia, statistika, finantsanalüüs või bioloogia (loetelu on lõputu). Tegelikult ei olnud loodusest huvitavate probleemide analüüsimiseks kättesaadavad korralikud matemaatilised tööriistad seni, kuni arvutus kujunes väljakujunenud teooriaks.
Arvutuse konkreetsest rakendusest tulenevad võrrandid võivad olla väga keerukad ja mõnikord mitte lahendatavad. Kuid on ka selliseid, mida suudame lahendada, kuid võivad tunduda sarnased ja segased. Seetõttu on diferentsiaalvõrrandid hõlbustamiseks kategooriad nende matemaatilise käitumise järgi kategoriseeritud. Lineaarne ja mittelineaarne on üks sellistest kategooriatest. Oluline on kindlaks teha lineaarse ja mittelineaarse diferentsiaalvõrrandi erinevus.
Mis on lineaarne diferentsiaalvõrrand?
Oletame, et f: X → Y ja f (x) = y, diferentsiaalvõrrandit tundmatu funktsiooni y ja selle derivaatide mittelineaarsete terminiteta nimetatakse lineaarseks diferentsiaalvõrrandiks.
See seab tingimuse, et y-l ei tohi olla kõrgemaid indekstermineid nagu y 2, y 3,… ja tuletiste kordseid
Samuti ei tohi see sisaldada mittelineaarseid termineid nagu Sin y, e y ^ -2 või ln y. See võtab kuju,
kus y ja g on x funktsioonid. Võrrand on järjestuse n diferentsiaalvõrrand, mis on kõrgeima järgu tuletise indeks.
Lineaarses diferentsiaalvõrrandis on diferentsiaaloperaator lineaaroperaator ja lahendid moodustavad vektorruumi. Lahendushulga lineaarse olemuse tulemusena on lahuste lineaarne kombinatsioon ka lahendus diferentsiaalvõrrandile. See tähendab, et kui y 1 ja y 2 on diferentsiaalvõrrandi lahendid, siis on lahendus ka C 1 y 1 + C 2 y 2.
Võrrandi lineaarsus on ainult üks klassifikatsiooni parameetritest ja seda saab veel kategoriseerida homogeenseteks või mittehomogeenseteks ja tavalisteks või osalisteks diferentsiaalvõrranditeks. Kui funktsioon on g = 0, siis on võrrand lineaarne homogeenne diferentsiaalvõrrand. Kui f on kahe või enama sõltumatu muutuja (f: X, T → Y) ja f (x, t) = y funktsioon, siis on võrrand lineaarne osaline diferentsiaalvõrrand.
Diferentsiaalvõrrandi lahendusmeetod sõltub diferentsiaalvõrrandi tüübist ja koefitsientidest. Lihtsaim juhtum tekib siis, kui koefitsiendid on konstantsed. Selle juhtumi klassikaline näide on Newtoni teine liikumisseadus ja selle erinevad rakendused. Newtoni teine seadus toodab konstantsete koefitsientidega teise järgu lineaarse diferentsiaalvõrrandi.
Mis on mittelineaarne diferentsiaalvõrrand?
Mittelineaarseid termineid sisaldavad võrrandid on tuntud kui mittelineaarsed diferentsiaalvõrrandid.
Kõik ülaltoodud on mittelineaarsed diferentsiaalvõrrandid. Mittelineaarseid diferentsiaalvõrrandeid on keeruline lahendada, seetõttu on õige lahendi saamiseks vaja põhjalikult uurida. Osaliste diferentsiaalvõrrandite korral puudub enamikul võrranditel üldine lahendus. Seetõttu tuleb iga võrrandit käsitleda iseseisvalt.
Navier-Stokesi võrrand ja Euleri võrrand vedeliku dünaamikas, Einsteini üldrelatiivsusteooria väljavõrrandid on hästi tuntud mittelineaarsed osalised diferentsiaalvõrrandid. Mõnikord võib Lagrange'i võrrandi rakendamine muutuvale süsteemile põhjustada mittelineaarsete osaliste diferentsiaalvõrrandite süsteemi.
Mis vahe on lineaarsetel ja mittelineaarsetel diferentsiaalvõrranditel?
• Diferentsiaalvõrrandit, millel on ainult tundmatu või sõltuva muutuja lineaarterminid ja selle tuletised, nimetatakse lineaarseks diferentsiaalvõrrandiks. Sellel pole terminit, mille sõltuva muutuja indeks oleks suurem kui 1, ja see ei sisalda ühtegi selle tuletist. Sellel ei saa olla mittelineaarseid funktsioone nagu trigonomeetrilised funktsioonid, eksponentsiaalfunktsioonid ja logaritmilised funktsioonid sõltuva muutuja suhtes. Mis tahes diferentsiaalvõrrand, mis sisaldab ülalnimetatud termineid, on mittelineaarne diferentsiaalvõrrand.
• Lineaarsete diferentsiaalvõrrandite lahendused loovad vektorruumi ja diferentsiaaloperaator on ka vektorruumis lineaaroperaator.
• Lineaarsete diferentsiaalvõrrandite lahendused on suhteliselt lihtsamad ja on olemas üldised lahendused. Mittelineaarsete võrrandite puhul pole enamikul juhtudel üldist lahendust olemas ja lahendus võib olla probleemipõhine. See muudab lahenduse lineaarvõrranditest palju keerulisemaks.
